ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES

• Qué son los espacios vectoriales?

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real). Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales.
Llamamos u + v a la suma de vectores en V, y αv al producto de un número real α por un vector v ∈ V.

• Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

Los primeros cinco axiomas se utilizan para definir a un grupo abeliano (un grupo abeliano es una estructura algebraica G que es grupo  pero donde la operación binaria es conmutativa.

Los axiomas 6 al 10 describen la interacción de los escalares y los vectores mediante la operación binaria de un escalar y un vector

#	NOMBRE	AXIOMA
1	Cerradura bajo suma o suma como operación interna	Si x ∈ V y y ∈ V, entonces x + y ∈ V
2	Ley asociativa de la suma de vectores	Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z)
3	0 como vector cero o idéntico aditivo; también llamado elemento neutro de la suma	Existe un vector 0 ∈ V tal que para todo x ∈ V, x + 0 = 0 + x = x
4	-x como inverso aditivo de x, o elemento inverso de la suma	Si x ∈ V, existe un vector –x en ∈ V tal que x + (-x) = 0
5	Ley conmutativa de la suma de vectores	Si x y y están en V, entonces x + y = y + x
6	Cerradura bajo multiplicación por escalar	Si x ∈ V y α es un escalar, entonces αx ∈ V
7	Primera ley distributiva	Si x ∈ V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy
8	Segunda ley distributiva	Si x ∈ V y α y β son escalares, entonces (α + β) x = αx + βx
9	Ley asociativa de la multiplicación por escalares	Si x ∈ V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x
10		Para cada vector x ∈ V, 1x = x

·          Qué es un subespacio vectorial?

Se dice que H es un subespacio vectorial de V si H es un subconjunto no vacío de V, y H es un espacio vectorial, junto con las operaciones de suma entre vectores y multiplicación por un escalar definidas para V.

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial V.

     Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.

1. Si x ∈ H y y ∈ H, entonces x + y ∈ H 

2. Si x ∈ H, entonces αx ∈ H para cada escalar α. 

3. Un subespacio propio de un espacio vectorial V es un subespacio de V diferente de {0} y de V

• Explique cuáles son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

BASE

Un conjunto finito de vectores {v₁, v₂, …., v_n} es una bases para un espacio vectorial V si

1. {v₁, v₂, …., v_n} es linealmente independiente
2. {v₁, v₂, …., v_n} genera a V.

Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en ℝⁿ es una base en ℝⁿ.

DIMENSIÓN

Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces la dimensión de Ves el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V = {0}, entonces se die que Vtiene dimensión 0.

La dimensión V se denota como dim V.

Si H es un subespacio del espacio de dimensión infinita V, entonces dim H ≤ dim V.

RANGO

Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T  ∈ (V, W). El rango de T se define como la dimensión de la imagen de T:

r(T) = dim (im(T))

BIBLIOGRAFÍA

Nulidad y rango de una transformación lineal. Egor Maximenko. Disponible en:http://esfm.egormaximenko.com/linalg/dim_ker_image_es.pdf

Grossman, S y Flores, J (2012). Algebra Lineal. Mexico: Mc Graw Hill. 735 pág.