Transformaciones lineales

Transformaciones lineales

El presente Trabajo lo realice de modo individual.


INFORME TRANSFORMACIONES LINEALES

INSTITUCION UNIVERSITARIA PASCUAL BRAVO

TECNOLOGIA DESARROLLO DEL SOFTWARE

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INFORME

TRANSFORMACIÓNES  LINEALES ________________________________________________________

PRESENTADO POR

LAURA CUARTAS RÍOS

   DOCENTE

   RUTH BEATRIZ MORENO ECHAVARRIA 

MEDELLÍN-ANTIOQUIA

2019

1.¿Qué es una transformación lineal?

Una transformación lineal es una función en un espacio vectorial V y W que trata de representar un vector, un polinomio, una matriz, entre otros, de una forma a otra, que conserva las propiedades de linealidad de dichos espacios.

Una transformación Lineal, es una función de la forma

T : R que satisface n → R ^m

las siguientes propiedades

•  T(u + v) = Tu + Tv, para todo u, v.
• T(cu) = cT(u) para todo vector u y todo escalar c

La transformación T manda combinaciones lineales en combinaciones lineales, es decir

T(c1v1 + c2v2 + ....... + ckvk) = c1T(v1) + c2T(v2) + .... + ckT(vk).

- Se escribe T: V →W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen

- Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional f (x), que se lee “f de x

2. ¿Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal?

Solo es una transformación lineal L = a → b si se cumplen estas dos condiciones:

• L(a +b) = L(a) + L(b)          
• L(ax) = a*L(x)

3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Teorema 1

Sea T: V→W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,v2,….vn, en V y todos los escalares α1, α2,…. αn:

• T(0) = 0
• T (u-v)=Tu – Tv
•  T (α1v1 + α2v2 + ….. αnvn) = α1Tv1 + α2Tv2 + …… αnTvn

Teorema 2

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ….vn}. Sean w1, w2, …. wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi =wi para i = 1, 2,., n. Entonces para cualquier vector v ϵ V, T1v = T2v; es decir, T1 = T2

Teorema 3

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, ….vn}. Sea W un espacio vectorial que contiene los vectores w1, w2, …. wn. Entonces existe una transformación lineal única T: V→W tal queTvi = wi para i 1, 2, …, n.

Teorema 4

Para definir este teorema se deben definir dos conceptos propios de las transformaciones lineales: imagen y núcleo

Sea V y W dos espacios vectoriales y sea T: V → W una transformación lineal. Entonces:

•   El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por:

nu T = {v ϵ V : Tv = 0}

• La imagen de T, denotado por im T, está dado por:

Im T = {w ϵ W : w = Tv para alguna v ϵ  V}

Ahora viene la definición del teorema:

Sea T: V→W es una transformación lineal, entonces

• nu T es un subespacio de V.
• Im T es un subespacio de W.

Teorema 5

La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v:

T(–v)= –T(v)

Demostración:

T(–v)=T(–1.v) = –1.T(v)=–T(v)

4.Un ejemplo de una transformación lineal

Encontrar la  transformación L ( -2, 3 , 4)

1. L( 1 , 0 , 0) = (-1, 2)
2. L( 0 , 1 , 0) = (3, 1)
3. L( 0 , 0 , 1) = (1, -1)

           L ( -2, 3 , 4) = -2i + 3j + 4k

           L ( -2, 3 , 4) = -2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1)

L ( -2, 3 , 4) = -2 (-1 , 2) + 3(3, 1) + 4(1, 2)

L ( -2, 3 , 4) = (2 , -4) + (9, 3) + (4, 8)

L ( -2, 3 , 4) = (15, 7) → Representación lineal.

5. ¿Cómo probar esa transformación lineal?

Ejemplo práctico de transformación lineal (tomado del libro Álgebra Lineal. Grossman y Flores)

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3 P4 y a los materiales como R1, R2, R3. La tabla muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar una unidad de cada producto:

MATERIALES	PRODUCTOS
	P1	P2	P3	P4
R1	2	1	3	4
R2	4	2	2	1
R3	3	3	1	2

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean P1, P2, P3, P4 el número de artículos fabricados de los cuatro productos y sean R1, R2, R3 el número de unidades necesario de los tres materiales, entonces se define así:

                                  

Por ejemplo, supongamos que  . ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que:

R = P1 • 2 + P2 • 2 + P3 • 3 + P4 • 4, o sea

R1 = 10 • 2 + 30 • 2 + 20 • 3 + 50 • 4 = 310 unidades.

R2 = 10 • 4 + 30 • 2 + 20 • 2 + 50 • 1 = 190 unidades.

R3 = 10 • 3 + 30 • 3 + 20 • 1 + 50 • 2 = 240 unidades.